撮像光学系のFナンバー
～瞳倍率と実効Fナンバーの幾何学的導出～ …(FN)
撮像光学系の F ナンバーは、画質や照度を左右する重要なパラメータです。本 ページでは、幾何光学的定義を光線図とともに整理し、関連パラメータの関係を実務的観点からまとめます。
本ページでは、以下の規則を前提として議論を進める。
規則A： 寸法・角度表記
寸法・角度表記は 付録：本サイトにおける寸法・角度の定義 に従い、方向性を持つ片側矢印は上下方向では上向き、左右方向では右向き、回転では反時計回りを正（逆方向を負）とし、方向性を持たない両側矢印で示す量は常に正値として扱う。
規則B： 近軸領域の定義
本ページで扱う光線はすべて近軸光線とし、角度が十分小さいものとする。 即ち、角度をθとしたとき、以下の近似を適用する：
sin θ ≃ θ, tan θ ≃ θ, cos θ ≃ 1
・撮像光学系のFナンバーの幾何光学的定義と関係式の導出
撮像光学系における F ナンバー（またはF値）は、照度、画質、被写界深度、ノイズ特性など多くの性能要素を左右する基本パラメータである。しかし撮像系では、レンズ単体の F ナンバーだけでなく、入射瞳位置、射出瞳位置、倍率、像側距離といった複数の幾何光学量が実効的な F ナンバーを決定している。本ページでは、撮像光学系における F ナンバーの定義（ (BS)-(3)-①a ）から始め、光線図を用いて関連パラメータの関係式を体系的に導出していく。
ここで、入射瞳へ入射する光線と射出瞳から射出する光線を、その他の主要光線と重ねて図示すると、以下のようになる。
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）を適用
※但し、DepとDxpだけは方向を持たない正の値として扱う。
但し、
f： 焦点距離
z： 物体距離
z'： 像距離
EP： 入射瞳位置
XP： 射出瞳位置
HD： 前側主点位置
HD'： 後側主点位置
HH'： 主点間距離
FFinf： 前側焦点位置
BFinf： 後側焦点位置
尚、これらの光学系パラメータの導出は、(PX) を参照のこと。
まず、Fナンバーを以下のように定義する。
このとき、以下のことが言える。
また、瞳倍率を以下のように定義する。
このとき、以下のことが言える。
これは、以下の光学パラメータで表すことができる。
また、倍率を以下のように定義する。
このとき、ニュートンの式から、以下のことが言える( (IG)-(1)-⑨c )。
ここで、実効Fナンバーを以下のように定義する。
このとき、これまでに示してきた式( (1)-①,②,②'',④ )を適用すると、実効 F ナンバーは以下のように横倍率、瞳倍率、Fナンバーを用いて表すことができる。
横倍率 β は物体位置や像位置によって変化する量である。一方、入射瞳径および射出瞳径は、近軸かつ光学系が固定されている場合、物体位置や像位置に依存せず一定である。したがって、瞳倍率も物体位置・像位置の影響を受けない定数として扱うことができる。
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計算フォーマット
これまで示した、瞳倍率および実効Fナンバーの計算の Excel フォーマットを以下に掲載する。
なお、以下のフォーマットには、別ページ (PX) で導出した、球面レンズ系における近軸計算に基づく光線伝播による光学系パラメータ計算も含まれている。
また、以下のフォーマットには、別ページ (IG) で導出した、理想レンズ系におけるガウス結像式に基づく光線伝播による光学系パラメータ計算も含まれている。
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参考文献
[1] 岸川利郎『ユーザーエンジニアのための光学入門』オプトロニクス社
[2] 高橋友刀『レンズ設計 収差係数から自動設計まで』東海大学出版会
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更新履歴
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2026-07 新規公開