球面レンズ系における
近軸計算に基づく光線伝搬

近軸領域にある光線は、光学系の光軸に対してなす角 θ が非常に小さく、かつ、その経路がすべて光軸の直近を通る。このとき、θに関して以下の近似が成り立つ。

sin θ = θ, tan θ = θ, cos θ = 1

そのため、近軸領域に限定することで光線追跡の計算は非常に簡便になり、光学系の骨格を把握する上で有益である。ここでは、その計算式の導出について示す。

尚、本ページの説明の流れは、岸川利郎『ユーザーエンジニアのための光学入門』[1]を参考にしている。ただし、導出や記述は筆者が独自に再構成したものである。

・具体例：単レンズの焦点距離の計算式（レンズメーカーの公式）

本ページでは、以下の規則を前提として議論を進める。

規則A：　符号規約

寸法表記については、付録：１次元ベクトルと角度における方向と符号の定義　に則り、上下方向は上向きを正、左右方向は右向きを正、回転方向は時計反対回りを正の向きとする。

規則B：　近軸領域の定義

本ページで扱う光線はすべて近軸光線とし、角度が十分小さいものとする。即ち、角度をθとしたとき、以下の近似を適用する：

sin θ = θ, tan θ = θ, cos θ = 1

規則C：　パラメータの表記（色分け）

各パラメータの色分けについては、（漸化式モデル中で）設定で与えられる量を青字、計算式で与えられる量を黒字とする。

・アッベの不変量の導出

物質の境界面（球面形状）を光線が透過するとき、近軸領域での光線を図示すると、以下のようになる。

(i) u > 0, u' > 0 のとき、

図１－１

(ii) u > 0, u' < 0 のとき、

図１－２

※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）、規則C（パラメータの色の区別）を適用

上図の各パラメータは以下のように定義される。

n: 境界面の入射前の材質の屈折率

n': 境界面の出射後の材質の屈折率

r: 境界面の曲率半径

u: 境界面への入射光線が中心軸と成す角度

u’: 境界面からの出射光線が中心軸と成す角度

i: 境界面への入射光と境界面の法線とが成す角度

i’: 境界面からの出射光と境界面の法線とが成す角度

φ: 境界面への光線の入射位置における法線と中心軸とが成す角度

h: 境界面へ入射する光線の中心軸に対する高さ

h’: 境界面から出射する光線の中心軸に対する高さ

s: 境界面への入射光が中心軸と交わる位置までの、境界面からの距離

s’: 境界面からの出射光が中心軸と交わる位置までの、境界面からの距離

このとき、図１－１に示されている条件を式で表すと、以下のようになる。

また、図１－２に示されている条件を式で表すと、以下のようになる。

(1)-①-1 と (1)-①-2 は、いずれも以下の同一の結果式に収束する。

u と u' の符号の組み合わせは(i),(ii)以外にも存在するが、規則Aの符号規約に従えば、いずれの場合も同一の結果式へ収束する。

よって、どれか一つの符号の組み合わせに基づいた図のモデルで考えれば十分であることが言える。

また、スネルの法則より、近軸領域においては以下のことが言える。

(1)-①’a,b,c,d、(1)-②より、以下に示すアッベの不変量が導出される。

(1)-③（アッベの不変量）は、点 P から点 P′ に向かう光線の関係式であるが、この式には光線固有の量である u, u′, h が現れないことが分かる。また、s と s′ を定数として固定した場合、u, u′, h は界面での屈折条件 (1)-①′b を満たす限り、任意の値を取ることができる。したがって、近軸領域では、図 1-3 に示すように、点 P を通るどのような光線であっても、必ず点 P′ に向かうことになる。このことは、点 P と点 P′ が共役点の関係にあることを意味している。

図１－3

※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）、規則C（パラメータの色の区別）を適用

・ラグランジュの不変量の導出

元の系全体を、点O（境界面の球心）に対し回転させて、点Pが点Q、点P'が点Q'に移ったとき、点Qと点Q'も共役関係にあるが、このとき、境界面は系全体を回転させる前後で全く変わっていないことから、系全体を回転させる前における点Qと点Q'もまた共役関係であることが言える。

　ここで、近軸領域においては円弧PQ、円弧P'Q'はそれぞれ中心軸に対し垂直な直線と見做せるので、PQベクトル、P'Q'ベクトルは中心軸に対し垂直なベクトルとして扱うことができる。

図２－１

※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）、規則C（パラメータの色の区別）を適用

上図の各パラメータについて、図１－１，図１－２で示したものについては踏襲し、新規のものは以下のように定義する。

y：物体高

y’：像高

ω：物体高 y から、境界面と光軸の交点に向かう光線の角度

ω’：境界面と光軸の交点から、像高 y' に向かう光線の角度

このとき、図に示されている条件を式で表すと、以下のようになる。

また、スネルの法則より、近軸領域においては以下のことが言える。

(2)-①a,b,c、(2)-②より、以下の関係式が得られる。

この関係式は、ラグランジュの不変量、または、ヘルムホルツ・ラグランジュの不変量と呼ばれている。

・近軸計算の漸化式と行列表記

１．境界面における入射光と出射光の変換関係

第0面（物体面）、第１面、第２面、…、第 j 面、…、第 k 面（像面）まで順に光線が通る系を考える。ここで、各面は球面形状とする（平面は曲率半径無限大で与える）。このとき、第 j 面を通る前後において近軸領域での光線を図示すると、以下のようになる。

図３－１

※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）、規則C（パラメータの色の区別）を適用

各パラメータの j の添え字は、第 j 番目の境界面を意味する。

上図の各パラメータについては、図１－１，図１－２に示したものを踏襲する。

まず、(1)-①'a,bより、第j面において以下のことが言える。

また、(1)-③（アッベの不変量）より、第j面において以下のことも言える。

(3)-①,②より、

ここで、以下のように置く。

これを適用すると、(3)-②’は以下のように表される。

(3)-①aと(3)-②''を行列を用いて表すと、以下のようになる。

界面では光線の高さは変化せず、角度のみが屈折によって変化する。この屈折関係を表す行列を Sj で表し、界面行列と呼ぶ。

2．境界面間における光線伝搬の理論的記述

次に、第j面と第j+1面の関係を図示すると、以下のようになる。

図３－2

※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）、規則C（パラメータの色の区別）を適用

上図の各パラメータについて、図１－１，図１－２, 図３－１で示したものについては踏襲し、新規のものは以下のように定義する。

Lj: 第1面から第j面までの距離

dj: 第j面から第j+1面までの距離

また、図３－２より以下のことが言える。

ここで、(3)-⑤aに(3)-③bを適用すると、以下のように表される。

(3)-⑤b、 (3)-③a,b、n'j=nj+1 より、

(3)-⑤a' (3)-⑤b'を行列を用いて表すと以下のようになる。

第 j 面を通過した光線は、次の第 j+1 面に到達するまでの間、角度は変化せず、高さのみが伝搬によって変化する。この伝搬を表す行列をTjで表し、空間伝搬行列と呼ぶ。

3．光線伝搬の行列表現

光線の伝搬を、光線の高さと角度を状態量として追跡し、行列形式で記述する。こうすることで光学系の挙動を統一的かつ簡潔に扱える。

ここで、界面行列 ( (3)-④a ) と空間伝搬行列 ( (3)-⑥a ) の積を、以下のように置く。

これを適用すると、(3)-④、(3)-⑥は以下のように表される。

また、(3)-④a, (3)-⑥a, (3)-⑦a の逆行列は以下のようになる。

これを用いると、逆方向の光線伝搬を以下のように表すことができる。

4．光学系におけるラグランジュ不変量の普遍性

図３－１と、(2)-③（ラグランジュの不変量）より、第 j 面において以下のことが言える。

ここで、図３－２に示すように、n'j=nj+1, u'j=uj+1, y'j=yj+1 であるから、以下のことも言える。

(3)-⑦,⑧より、以下のことが言えるので、ラグランジュの不変量は物体面から像面の間の全ての面において成り立つ量であることが言える。

・近軸計算による光学系パラメータの導出

光学系パラメータを、下図に示す各光線の追跡から求めていく。

※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）、規則C（パラメータの色の区別）を適用

近軸領域では、本来「角度」や「光線高さ」は微小量として扱われる。しかし、光学系パラメータの計算過程では、これらを必ずしも微小量に限定する必要はなく、任意のスケールへと拡張して扱うことができる。
そこで、軸上近軸追跡では主点位置での光線高さを 1 に、主光線近軸追跡では物体高と主点が成す角度を –1 となるように規格化し、解析を簡潔かつ統一的に行えるようにする。

ここでは、各パラメータの添え字（以下の「*」の箇所）を変えることで、各光線を区別することとする。