理想レンズ系における
ガウス結像式に基づく光線伝播…（IG）
まず、結像関係の式を導出する。その後、ガウス結像式に基づく、理想レンズによる幾何学的光線伝播の行列表現について示す。
※本ページでは幾何光学に基づく光線伝搬モデルを扱います。ガウシアンビーム等の波動光学的な回折の影響は含まれていません。
尚、本ページの説明の流れは、岸川利郎『ユーザーエンジニアのための光学入門』[1]を参考にしている。 ただし、導出や記述は筆者が独自に再構成したものである。
目次：
本ページでは、以下の規則を前提として議論を進める。
規則A： 符号規約
寸法表記については、付録：１次元ベクトルと角度における方向と符号の定義 に則り、上下方向は上向きを正、左右方向は右向きを正、回転方向は時計反対回りを正の向きとする。
規則B： 近軸領域の定義
本ページで扱う光線はすべて近軸光線とし、角度が十分小さいものとする。 即ち、角度をθとしたとき、以下の近似を適用する：
sin θ = θ, tan θ = θ, cos θ = 1
規則C： パラメータの表記（色分け）
各パラメータの色分けについては、（漸化式モデル中で）設定で与えられる量を青字、計算式で与えられる量を黒字とする。
・結像関係の式の導出
物点からの光線が、焦点距離ｆの光学素子を介して、像点に結像する様子を図示すると、以下のよう になる。
(i) f > 0, z < 0 の時、
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）を適用
(ii) f > 0, 0 < z < f の時、
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）を適用
(iii) f > 0, f < z の時、
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）を適用
(iv) f < 0, z < f の時
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）を適用
(v) f < 0, f < z < 0 の時、
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）を適用
(vi) f < 0, z > 0 の時、
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）を適用
規則Aの符号規約においては、(i)～(vi)は全て同じモデルの一形態であり、倍率をβとすると、三角形の相似の関係より、(i)～(vi)の全て共通で以下のことが言える。
次に、以下の主要光線について考える。
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）を適用
図より、以下のことが言える。
(1)-①'、(1)-②a、(1)-②bより、
ラグランジュの不変量より、
(1)-④、(1)-②abc、(1)-①' より、
(1)-①、(1)-⑤ より、
次に、縦倍率αを以下のように定義すると、(1)-①、(1)-①’、(1)-⑥より、
これは、zが微小量のときのみに成り立つ点には注意が必要である。
※媒質が空気の場合：
n=n'=1より、以下のことが言える。
(1)-①、(1)-①'、(1)-⑧より、以下のニュートンの式（またはニュートンの関係式）を含む関係式が得られる。
次に、(1)-③に(1)-⑧を適用することで、以下のガウスの結像式が得られる。
次に、物像間距離について示す。
物像間距離を、物点を始点、像点を終点とする１次元ベクトルで定義すると、以下のように表すことができる。
次に、縦倍率においては、(1)-⑦にn=n'=1を代入することで、以下の式が得られる。
・理想レンズによるガウス結像式に基づく光線伝播
１．光学素子による入射光と出射光の変換関係
第0面（物体面）、第１面、第２面、…、第 j 面、…、第 n 面（像面）まで順に光線が通る系を考える。このとき、第 j 面のパラメータを図示すると以下のようになる。
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）、規則C（パラメータの色の区別）を適用
・光学素子の前側焦点から前側主点までの距離： fj
・光学素子の後側主点から後側焦点までの距離： fj'
・光学素子の前側主点から物側空中像までの距離： sj
・光学素子の後側主点から像側空中像までの距離： s'j
・光学素子位置での物側からの入射光線の高さ： hj
・光学素子位置での像側への出射光線の高さ： h'j
・物側の光線角度： uj
・像側の光線角度： u'j
媒質を空気とし、(1)-⑧を適用する。
ここで、図より、
(1)-⑩（ガウスの結像式）より、
(2)-①a,b,c、(2)-② より、
(2)-①a、(2)-②’を行列で表すと以下のようになる。
前側主点と後側主点の前後では光線の高さは変わらず、屈折によって角度のみが変化する。この屈折関係を表す行列を Sj で表し、界面行列と呼ぶ。
２．光学素子間における光線伝搬の理論的記述
次に、第 j 面と第 j+1 面の間の光線伝搬について示す。このときの各パラメータを図示すると以下のようになる。
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）、規則C（パラメータの色の区別）を適用
・光学素子の主点間距離： HH’j
・光学素子の後側主点から次の光学素子の前側主点までの距離： dj
・原点位置（第1面物体面）から光学素子の前側主点までの距離： Lj
このとき、図より以下のことが言える。
(2)-④b,cを行列で表すと、以下のようになる。
第 j 面の後側主点 を通過した光線は、次の j+1 面の前側主点へ到達するまで角度を保持したまま伝搬し、高さのみが変化する。この伝搬過程を表す行列をTjで表し、空間伝搬行列と呼ぶ。
３. 光線伝搬の行列表現
光線の伝搬を、光線の高さと角度を状態量として追跡し、行列形式で記述する。こうすることで光学系の挙動を統一的かつ簡潔に扱える。
界面行列( (2)-③ )と空間伝播行列( (2)-⑤ )の積を、以下のように置く。
これを適用すると、(2)-③、(2)-⑤は以下のように表される。
(2)-⑤'による漸化式を用いることで、第１面から最終面までの光線伝播を追跡することができる。
また、(2)-③a, (2)-⑤a, (2)-⑥a の逆行列はそれぞれ以下のようになる。
これを適用すると、逆向きの光線伝搬を以下のように表すことができる。
以上より、光線の正方向および逆方向の伝搬を、行列形式によって統一的に記述できることを示した。これらの表現を基礎として、次章では光学系全体の特性を評価する方法について述べる。
・理想レンズによる光線伝搬における光学系パラメータの導出
k 個の理想レンズから成る光学系について、下図に示す各光線の追跡結果を用いて光学系パラメータを求める。
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）、規則C（パラメータの色の区別）を適用
近軸領域では、本来「角度」や「光線高さ」は微小量として扱われる。しかし、光学系パラメータの計算過程では、これらを必ずしも微小量に限定する必要はなく、任意のスケールへと拡張して扱うことができる。
そこで、軸上近軸追跡では主点位置での光線高さを 1 に、主光線近軸追跡では物体高と主点が成す角度を –1 となるように規格化し、解析を簡潔かつ統一的に行えるようにする。
ここでは、各パラメータの添え字（以下の「*」の箇所）を変えることで、各光線を区別することとする。
-
(2)-③,⑤', (2)-③',⑤''より、
-
(2)-①a,b,c より、
尚、添え字を持たないパラメータは、光学系全体を特徴づける系固有のパラメータとする。
また、図中のレンズ全長 TL は、(2)-④a で定義される Lj を用いて、以下のように表すことができる。
(i) 前面からの平行光入射
ここでは、合成焦点距離 f 、後側主点距離 HD'、平行光入射における像距離 BFinf を求める。
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）、規則C（パラメータの色の区別）を適用
(3)-①a,bより、
uF',1 = 0, hF',1 = 1 より、
(3)-②aより、以下の平行光入射における像距離が得られる。
よって、図から得られる関係式に、(3)-④a'と(3)-④bを適用することで、焦点距離 f と後側主点距離 HD' を得ることができる。
(ii) 後面からの平行光入射（逆向き）
ここでは、合成焦点距離 f 、前側主点距離 HD、平行光入射における物体距離 FFinf を求める。
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）、規則C（パラメータの色の区別）を適用
(3)-①a',b'より、
u'F,k = 0, h'F,k = -1 より、
(3)-②aより、以下の平行光入射における物体距離が得られる。
よって、図から得られる関係式に、(3)-⑤a'と(3)-⑤bを適用することで、焦点距離 f と前側主点距離 HD を得ることができる。
次に、下図で定義される主点間距離HH'を求める。
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）、規則C（パラメータの色の区別）を適用
図より、これまでに求めたTL、HD、HD’を用いて、主点間距離HH'を以下のように求めることができる。
(iii) 軸上近軸追跡
ここでは、物体距離 FF と前側主点距離 HD を用いて、像距離 BF、倍率 β を求める。
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）、規則C（パラメータの色の区別）を適用
図より、
これらを適用し、(3)-①a,bより、
よって、(3)-②a,b より得られる 以下の式に、(3)-⑥a,b,cを適用することで、像距離 BF と倍率 β を得ることができる。
(iv) 主光線近軸追跡
ここでは、物体距離 FF、前側主点位置 HD、入射瞳位置 EP を用いて、射出瞳位置 XP を求める。
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）、規則C（パラメータの色の区別）を適用
図より、
これらを適用し、(3)-①a,bより、
よって、(3)-②a より得られる以下の式に、(3)-⑦a,b,c を適用することで、射出瞳位置 XP を得ることができる。
また、(3)-⑥e で倍率 β を求めたが、その倍率 β を導く別の方法を以下に示す。
まず、図より以下のことが言える。
よって、倍率βを以下のように求めることができる。
・計算フォーマット
ここまでで示した光学系パラメータ導出手法の実装例として、対応する Excel フォーマットを付録として提供する。本フォーマットは、行列光学に基づく各種パラメータ（焦点距離、主点位置、バックフォーカス等）の計算を体系的に行えるよう設計されており、理論的検討および実用的解析の双方に利用可能である。
なお、このフォーマットには、別ページ (FN) で導出した瞳倍率および実効Fナンバーの計算も含まれている。
・具体例： 合成焦点距離の導出
本節では、焦点距離 f1, f2 をもつ 2 枚の光学素子を距離 d だけ離して配置した場合の、合成焦点距離の導出を行う。この系を理想レンズによる近軸光線伝搬モデルで表すと、下図のような構成となる。
※規則A（符号規約）、規則B（近軸領域の定義）、規則C（パラメータの色の区別）を適用
(3)-4a'に図中の各パラメータ値（d1=d）を適用すると、以下が得られる。
(4)-①を計算すると、以下のようになる。
よって、(3)-④b,cから得られる以下の式に、(4)-①' を適用すると、以下の像距離 BFinf・合成焦点距離 f についての関係式が得られる。
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参考文献
[1] 岸川利郎『ユーザーエンジニアのための光学入門』オプトロニクス社
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更新履歴
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2026-07 全面改訂
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2026-01 全面改訂
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2025-10 全面改訂
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2025-06 新規公開