理想レンズによるガウシアンビーム
伝播の漸化式モデル

※幾何学的な光線の伝播については、「理想レンズによる幾何学的光線伝播の漸化式モデル」を以下のリンクよりご参照ください。

理想レンズによる幾何学的光線伝播の漸化式モデル

ガウシアンビームの形状

そもそもガウシアンビームとは何か。ガウシアンビームとは、光の進行方向に垂直などこの断面においても、強度分布が正規分布（ガウス分布）となる光波のことであり、レーザー光がこれに該当する。図で表すと以下のようになる。

ガウシアンビームのビーム形状について示しています。任意の断面が正規分布になっています。Z方向に対してはレイリー領域内をビームウエストと呼びます。

ここで、各変数は以下で定義される。

z：光の進行方向位置

w(z)：位置zにおけるビーム半径

r：中心軸からの距離

I(r,z)：位置zにおけるr方向光強度分布

I0(z)：位置zにおける中心軸における光強度

位置 z におけるビーム半径 w(z) は、光強度分布 I(r,z) において、中心軸（r=0）における光強度 I0(z) に対し 1/(e^2) になるときのrの値で定義される。

また、各パラメータは以下で定義される。

λ：波長

L：ビームウエスト位置

wo：ビームウエスト半径

ZR：レイリー長

θ：発散角

レイリー長以下の範囲をレイリー領域と言い、レーザービームがどの程度まで広がらずに一定の径を保つことができるかを示す指標として重要である。

理想的なガウシアンビーム伝播の漸化式モデル

次に、光学素子を順に並べてガウシアンビームを通すときのビーム伝搬を考える（光学素子は収差のない理想レンズとする）。図示すると以下のようになる。

上図の各パラメータは以下で定義される。

fi : 光学素子（理想レンズ）の焦点距離

di：次の光学素子までの距離

Li：zの原点からビームウエスト（光学素子を通る前）までの距離

HH'i：主点間距離

Ri：光学素子に入射する直前の波面の曲率半径

R'i：光学素子を出射した直後の波面の曲率半径

si：光学素子からビームウエスト（光学素子を通る前）までの距離

s'i：光学素子からビームウエスト（光学素子を通った後）までの距離

ここで、各パラメータの i の添え字はビーム入射位置から i 番目の光学素子に関する物理量を表す。また、各パラメータについて設定値を青字、計算で求められる量を黒字で示している。

また、各寸法で片方だけ矢印になっているものは、1次元のベクトル表記である。その定義について説明する。

・右向きのベクトルが持つスカラー量は正の値、左向きのベクトルが持つスカラー量は負の値である。

・各ベクトルが持つスカラー量に－1を掛けることは、ベクトルの始点と終点を入れ替えて向きを反転させることを意味する。

あるベクトルのスカラー量をAとし、A(+)>0、A(-)<0　としたとき、スカラー量とベクトルの関係を以下に示す。

i 番目の光学素子に関する各パラメータを求める計算式を以下に示す。

(1)-①-5より、RiとR'iの関係はガウスの結像公式と同じ形をしていることが判る。即ち、Riの球心位置とR'iの球心位置の関係は、幾何学的な光線追跡における物面と像面の関係と同じである。一方、ビームウエスト位置si, s'iの関係を示す(1)-①-6は、ガウスの結像公式と似ているが若干異なった形をしている。これは、幾何学的なモデルのガウスの結像公式に、光の回折の影響を考慮した補正をしたものであり、1983年にSidney Self 等によって提唱された式である[1]。

また、i 番目の光学素子と i+1 番目の光学素子の間で成り立つ漸化式は以下のようになる。