電磁波に関する様々な公式の導出
（吸収がある媒質の場合）
※本章は、以下の章（以後、前章と呼ぶ）からの続きと位置付ける。そのため、本章中に示す式の(1)～(9)は前章の式を指すものとする。
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吸収がある媒質における電磁波の式
前章 (2)-①, (2)-③, (1)-④より、
よって、
ここで、屈折率nを複素数に拡張する。それにより、媒質による吸収の影響を数式で表すことができる。
(10)-① において屈折率nを以下に示す複素屈折率で置き換える。
ここで、κを消光係数と呼ぶ。
このとき、
よって、光強度を I とすると、
ここで、吸収係数αを以下のように定義する。
このとき、
これは、光強度が ek・r に対し指数関数的に減衰することを意味し、1/αは光強度が1/e倍になるまでの r = 0 からの光波進行方向への深さを表す。この深さを吸収長と言い、光が侵入できる深さの目安として用いられる。
また、(10)-⑥を空間的に図示すると以下のようになる。
ここで、図の簡略化のため、ekz=0とした。
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吸収がある媒質へのスネルの法則の適用
媒質１の屈折率をn1、媒質２の屈折率をn2とする。また、媒質１と媒質２の境界面に対し、媒質１からの入射角をθ、媒質２への出射角をξとする。
前章 (4)-⑦-2、(5)-⑦-2 で導出されたスネルの法則より、
ここで、媒質２を 吸収のある媒質とする場合、(10)‐②と同様、屈折率n2を以下の複素屈折率で置き換えることで、媒質２による吸収の影響を数式で表すことができる。
このとき、(4),(5)-⑦-2 の右辺は実数なので、等式を満たすためにはξも複素数でなければならない。これを以下のように表すこととする。
ここで、各パラメータの値の範囲を以下のように定める。
(4),(5)-⑦-2のn2, ξをそれぞれ(11)-①-1,2で置き換え、式変形すると以下のようになる。
ここで、(11)-①-3 と (11)-② より、
[ i ] θ ＝ 0 のとき、
ξr ＝ ξi = 0
[ ii ] θ ≠ 0 のとき、
ξr ≠ 0 and ξi ≠ 0 となることから、
・ξi の導出：
(11)-②を式変形すると、
ここで、以下のようにおく。
これを上式に適用すると、
X > 0, A > 0 より、
ここで、以下のように置く。
これを上式に適用すると、
ここで、(11)-①-3 と (11)-② より、以下のことが言える。
よって、
また、ξi は以下のように表すこともできる。
ここで、(11)-①-3 と (11)-② より、以下のことが言える。
よって、
但し、ξi < 0 (∵ (11)-③-5)
・ξr の導出：
改めて、(11)-②を式変形すると、
ここで、以下のよ うに置く。
これと、前に示した (11)-③-1b を併せて、上式に適用すると、
Y > 0, A > 0 より、
ここでも、(11)-③-2a,b を適用すると、
ここで、(11)-①-3 より、以下のことが言える。
よって、
但し、0 < ξr < π/2 (∵ (11)-①-3)
また、ξr は以下のように表すこともできる。
ここで、(11)-①-3 より、以下のことが言える。
よって、
但し、0 < ξr < π/2 (∵ (11)-①-3)
・まとめ
以上の結果をまとめると、
… (11)-③-5,7, (11)-④-5,7
… (11)-③-2a,b
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吸収がある媒質へのフレネルの公式の適用とエネルギー反射率
[ i ] θ=0のとき、
垂直入射においてはp偏光とs偏光は同じ状態なので、これらについてまとめて示す。
前章で導出した、垂直入射におけるフレネルの公式（s,p偏光）を改めて以下に示す。
ここで、屈折率n2を、(11)-①-1に示す複素数に置き換えることで、吸収がある媒質に入射する場合の振幅反射率（s,p偏光）を以下のように表すことができる。
よって、(6)-④,⑦より、吸収がある媒質に入射する場合のエネルギー反射率（s,p偏光）は以下のようになる。
[ ii ] θ≠0のとき、
・p偏光の場合
前章で導出したフレネルの公式（p偏光）を改めて以下に示す。
ここで、屈折率n2と出射角度ξを、(11)-①-1,2に示す複素数に置き換えることで、吸収がある媒質に入射する場合の振幅反射率（p偏光）を以下のように表すことができる。
よって、(6)-④より、吸収がある媒質に入射する場合のエネルギー反射率（p偏光）は以下のようになる。
ここで、ξr と ξi は (11)-③-5,7, (11)-④-5,7 のθの関数で与えられる。
・s偏光の場合
前章で導出したフレネルの公式（s偏光）を改めて以下に示す。
ここで、屈折率n2と出射角度ξを、(11)-①-1,2に示す複素数に置き換えることで、吸収がある媒質に入射する場合の振幅反射率（s偏光）を以下のように表すことができる。
よって、(6)-⑦より、吸収がある媒質に入射する場合のエネルギー反射率（s偏光）は以下のようになる。
ここで、ξr と ξi は (11)-③-5,7, (11)-④-5,7 のθの関数で与えられる。
・事例
波長589.3nmにおけるアルミニウムの屈折率を1.44、消光係数を5.23としたとき、空気からアルミニウムに入射したときの、入射角度θとエネルギー反射率の関係を、(12)-②,③-2を用いて計算すると、以下のグラ フが得られる。
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エリプソメトリーの定義式の導出
最初に、以下の値の範囲について調べる。
(11)-②より、
n2 > n1 とすると、
よって、(11)-①-3 より、
また、(11)-①-3 と (13)-②-1 より、
(13)-②-1,2,3 と、ξi < 0 (∵(11)-③-5) を踏まえ、n2 > n1 のとき、(12)-②-1と(12)-③-1は振幅と偏角を用いて以下のように表すことができる。
ここで、式中の青色の箇所は、θ+ξrの値がπ/2未満のときは零、π/2より大きいときは-πになるような場合分けを式中に組み入れたものである。
また、ξr と ξi は (11)-③-5,7, (11)-④-5,7 のθの関数で与えられる。
この結果を用いて、エリプソメトリーで定義されるψとΔは、以下のように表される。
例として、n=1.44, κ=5.23 のときの ψ と Δ の θ に対する計算結果を以下に示す。
入射光の電界のp, s偏光成分をそれぞれEip, Eis、反射光の電界のp, s偏光成分をそれぞれErp, Ersとすると、振幅反射率のp, s偏光成分はそれぞれ以下のように表される。
ここで、それぞれの左辺は複素数なので、右辺の電界も複素数となる。
今、入射光の電界について、以下のように置く。
このとき、(13)-⑤,⑥より、以下のようになる。
よって、(13)-④-1より、以下の関係式が得られる。
ここで、波数ベクトルと時間を含めた、反射光のp,s偏光の位相をそれぞれ、PHp(r, t), PHs(r, t) とすると、
よって、s偏光は時間軸で見た場合はp偏光に対しΔ/ω進んでいる。
以上を踏まえ、時間軸においてψとΔは以下のように図示できる。
ここで、入射光の電界については、(13)-⑥の条件に加え、絶対値を１に規格化した。
更に、波数ベクトルと時間を含めた、反射光のp,s偏光の位相はそれぞれ、以下のように表すこともできる。
ゆえに、s偏光は空間軸で見た場合はp偏光に対しΔ/kr遅れている。
よって、空間軸においてψとΔは以下のように図示できる。
ここでも、入射光の電界については、(13)-⑥の条件に加え、絶対値を１に規格化した。
ここで、位相の符号について言及しておく。物理学と光学の分野ではそれぞれの慣習により、空間軸・時間軸における位相の符号が反転する。その関係で、Δの値も物理学と光学の分野では値の符号が反転する。本webでは物理学の慣習に基づく符号で定義しているので、光学の分野で定義する場合はΔの符号が逆になるので要注意です。