電磁波に関する様々な公式の導出
（吸収がある媒質の場合）…（EM2）
※本ページは、以下リンクからの続きである。
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吸収がある媒質における電磁波の式
よって、
ここで、屈折率nを複素数に拡張する。それにより、媒質による吸収の影響を数式で表すことができる。
(10)-① において屈折率nを以下に示す複素屈折率で置き換える。
ここで、κを消光係数（または、消衰係数）と呼ぶ。
このとき、
よって、光強度を I とすると、
ここで、吸収係数αを以下のように定義する。
このとき、
これは、光強度が ek・r に対し指数関数的に減衰することを意味し、1/αは光強度が1/e倍になるまでの r = 0 からの光波進行方向への深さを表す。この深さを吸収長と言い、光が侵入できる深さの目安として用いられる。
また、(10)-⑥を空間的に図示すると以下のようになる。
ここで、図の簡略化のため、ekz=0とした。
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吸収がある媒質へのスネルの法則の適用
媒質１の屈折率をn1、媒質２の屈折率をn2とする。また、媒質１と媒質２の境界面に対し、媒質１からの入射角をθ、媒質２への出射角をξとする。
ここで、媒質２を吸収のある媒質とする場合、(10)‐②と同様、屈折率n2を以下の複素屈折率で置き換えることで、媒質２による吸収の影響を数式で表すことができる。
ここで、各パラメータの値の範囲を以下のように定める。
ここで、(11)-①-3 と (11)-② より、
[ i ] θ ＝ 0 のとき、
ξr ＝ ξi = 0
[ ii ] θ ≠ 0 のとき、
ξr ≠ 0 and ξi ≠ 0 となることから、
・ξi の導出：
(11)-②を式変形すると、
ここで、以下のようにおく。
これを上式に適用すると、
X > 0, A > 0 より、
ここで、以下のように置く。
これを上式に適用すると、
ここで、(11)-①-3 と (11)-② より、以下のことが言える。
よって、
また、ξi は以下のように表すこともできる。
ここで、(11)-①-3 と (11)-② より、以下のことが言える。
よって、
但し、ξi < 0 (∵ (11)-③-5)
・ξr の導出：
改めて、(11)-②を式変形すると、
ここで、以下のように置く。
これと、前に示した (11)-③-1b を併せて、上式に適用すると、
Y > 0, A > 0 より、
ここでも、(11)-③-2a,b を適用すると、
ここで、(11)-①-3 より、以下のことが言える。
よって、
但し、0 < ξr < π/2 (∵ (11)-①-3)
また、ξr は以下のように表すこともできる。
ここで、(11)-①-3 より、以下のことが言える。
よって、
但し、0 < ξr < π/2 (∵ (11)-①-3)
・まとめ
以上の結果をまとめると、
… (11)-③-5,7, (11)-④-5,7
… (11)-③-2a,b
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吸収がある媒質へのフレネルの公式の適用とエネルギー反射率
[ i ] θ=0のとき、
垂直入射においてはp偏光とs偏光は同じ状態なので、これらについてまとめて示す。
(EM1)で導出した、垂直入射におけるフレネルの公式（s,p偏光）を改めて以下に示す。
ここで、屈折率n2を、(11)-①-1に示す複素数に置き換えることで、吸収がある媒質に入射する場合の振幅反射率（s,p偏光）を以下のように表すことができる。
よって、(EM1)-(6)-④,⑦より、吸収がある媒質に入射する場合のエネルギー反射率（s,p偏光）は以下のようになる。
[ ii ] θ≠0のとき、
・p偏光の場合
(EM1)で導出したフレネルの公式（p偏光）を改めて以下に示す。
ここで、屈折率n2と出射角度ξを、(11)-①-1,2に示す複素数に置き換えることで、吸収がある媒質に入射する場合の振幅反射率（p偏光）を以下のように表すことができる。
n2>n1としたとき、(12)-②-1は、振幅と位相に分けて以下のように表すことができる。
※(12)-②-2b-rは後に導出する。
ここで、式中の青色の箇所は、θ+ξrの値がπ/2未満のときは零、π/2より大きいときは-πになるような場合分けを式中に組み入れたものである。
ここで、振幅反射率（p偏光）rp は定義より以下のように入射光の電界振幅 Eip と反射光の電界振幅 Erp の比で表されるが、左辺を複素数に拡張しているので、右辺の電界の各振幅も複素数に拡張する必要がある。これを複素振幅と呼ぶ。
また、(EM1)-(6)-④より、吸収がある媒質に入射する場合のエネルギー反射率（p偏光）は以下のようになる。
但し、ξr と ξi は (11)-③-5,7, (11)-④-5,7 のθの関数で与えられるので、(12)-②-1,2,4もθの関数である。
・s偏光の場合
(EM1)で導出したフレネルの公式（s偏光）を改めて以下に示す。
ここで、屈折率n2と出射角度ξを、(11)-①-1,2に示す複素数に置き換えることで、吸収がある媒質に入射する場合の振幅反射率（s偏光）を以下のように表すことができる。
n2>n1としたとき、(12)-③-1は、振幅と位相に分けて以下のように表すことができる。
※(12)-③-2b-rは後に導出する。
ここで、振幅反射率（s偏光）rs は定義より以下のように入射光の電界振幅 Eis と反射光の電界振幅 Ers の比で表されるが、左辺を複素数に拡張しているので、右辺の電界の各振幅も複素数に拡張する必要がある。これを複素振幅と呼ぶ。
また、(EM1)-(6)-⑦より、吸収がある媒質に入射する場合のエネルギー反射率（s偏光）は以下のようになる。
但し、ξr と ξi は (11)-③-5,7, (11)-④-5,7 のθの関数で与えられるので、(12)-③-1, 2, 4もθの関数である。
・角度範囲の導出
(12)-②-2b-r, (12)-③-2b-r の導出をしていく。
まず、(11)-①-3 and θ≠0 and n2>n1より、
また、(11)-② より、
(12)-④-1,2 より、以下のことが言える。
(12)-④-1,3 より、以下のことも言える。
よって、(12)-②-2b-r, (12)-③-2b-r が示された。
・事例
波長589.3nmにおけるアルミニウムの屈折率を1.44、消光係数を5.23としたとき、空気からアルミニウムに入射したときの、入射角度θとエネルギー反射率の関係を、(12)-②-4, (12)-③-4を用いて計算すると、以下のグラフが得られる。
ここで注目すべき点としては、吸収のない媒質では、p偏光において、反射率が零となる角度のブリュースタ角があったが、吸収のある媒質では、反射率が零に落ちる角度がそもそもないので、反射率が零となる角度という意味でのブリュースタ角は定義できない。