電磁波に関する様々な公式の導出
※数式の参照があちこち飛ぶので、参照先の数式を見たりするときは、複製した別ウインドウで見ることをお勧めします。
電磁波に関する様々な公式を、以下の流れで体系的に導出をしていく。全体を流れで理解することをお勧めする。
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電磁波の数式表現
電磁波は、以下のように表すことができる（マクスウェルの方程式から導出された結果のみ示す）。
電界ベクトル：
磁界ベクトル：
電界と磁界の関係は以下で表される。
ここで、各ベクトルは以下で定義された量である。
(2)-②に示すベクトルの向きの関係を図示すると以下のようになる。
ここで、ベクトルの奥行き方法は以下のように表示できる。
…奥から手前へ
…手前から奥へ
これを用いると、(2)-②に示すベクトルの向きの関係は次のように表記できる。
(2)-①で表される電磁波を図示すると、以下のようになる。ここで、図を煩雑にしないため、ekz=0としたが、ekzが0でない場合についても同様に考えることができる。
また、位相の進みと電磁波の進みの関係について図示すると、以下のようになる。
このように、位置の進みと時間の進みで、位相が逆向きになっているため、位置成分と時間成分で、符号が反対となる。
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媒質間の伝搬における境界条件
以下の図に示すように、非磁性の媒質間の光の伝搬において、z=0平面を媒質間の境界面とし、電磁波が境界面に入射したときの、透過光と反射光について考える。
ここで、各パラメータの下付き添え文字は以下を意味する。
i ： 入射光における値
r : 反射光における値
t : 透過光における値
入射光、反射光、透過光の電界と磁界は、(2)-①より以下のように表される。
ここで、境界面における電磁場の境界条件を考える。
z=0で電界の接線成分が連続となることより、
z=0で磁界の接線成分が連続となることより、
任意のx, y, t に対して(3)-②、(3)-③が成り立つための条件は、
このとき、(3)-②、(3)-③は以下のようになる。
(3)-④-3より、入射光・反射光・出射光のωは、下付き添え文字を外した共通のωで表すこととする。
また、このωは媒質に依存しないことから、以下のことも言える。
ここで、𝑘𝑖𝑦=0となる方向にy軸を決めても一般性を失わない。
このとき、(3)-④-1より、以下のようになる。
このことから、 𝑘𝑖𝑦=0となる方向にy軸を決めた場合、入射光・反射光・透過光は全てxz平面内にあることが言える。
また、電界・磁界はそれぞれ、入射面に対して平行に振動する成分（p偏光）と、入射面に対して垂直に振動する成分（s偏光）の和で表すことができるので、次の章ではこれらを分けて考えることとする。
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p偏光におけるフレネルの公式
z=0平面の媒質の境界面への入射において、電界が入射面に対して平行に振動する場合（p偏光）について考える。このとき、入射光・反射光・透過光の電界・磁界は下図のように表される。
下付き添え字の1,2はそれぞれ媒質の違いを表す。
電界と磁界の向きは、(2)-②に従って図示されている。
非磁性の吸収のない媒質間の伝搬とし、(1)-⑥が適用できるものとする。
図に示されている各ベクトルを成分表示で示すと、以下のようになる。
ここで、(1)-⑥より、
(4)-④-1より、
また、(3)-④-1（境界条件の解）、(4)-①（p偏光における波数の成分表示）より、
(4)-⑤、(4)-⑥より、以下の反射の法則とスネルの法則が求められる。
(4)-②③（p偏光における電界・磁界の成分表示）を(3)-②a, ③a（電界・磁界の振幅の境界条件） へ代入する。その際に、(4)-④-2（電界と磁界の振幅の関係式）と(4)-⑦-1（反射の法則）を適用すると以下が得られる。
よって、振幅透過率をtp、振幅反射率をrpとすると、以下のフレネルの公式（p偏光）が求められる。
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s偏光におけるフレネルの公式
z=0平面の媒質の境界面への入射において、電界が入射面に対して垂直に振動する場合（s偏光）について考える。このとき、入射光・反射光・透過光の電界・磁界は下図のように表される。
下付き添え字の1,2はそれぞれ媒質の違いを表す。
電界と磁界の向きは、(2)-②に従って図示されている。
非磁性の吸収のない媒質間の伝搬とし、(1)-⑥が適用できるものとする。
図に示されている各ベクトルを成分表示で示すと、以下のようになる。
ここで、(1)-⑥より、
(5)-④-1より、
また、(3)-④-1（境界条件の解）、(5)-①（s偏光における波数の成分表示）より、
(5)-⑤、(5)-⑥より、以下の反射の法則とスネルの法則が求められる。
(5)-②③（s偏光における電界・磁界の成分表示）を(3)-②a, ③a（電界・磁界の振幅の境界条件） へ代入する。その際に、(5)-④-2（電界と磁界の振幅の関係式）と(5)-⑦-1（反射の法則）を適用すると以下が得られる。
よって、振幅透過率をts、振幅反射率をrsとすると、以下のフレネルの公式（s偏光）が求められる。
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エネルギー透過率とエネルギー反射率
z=0平面上の微小領域dxdyを単位時間に通過する入射光・反射光・透過光の体積をそれぞれdVi、dVr、dVtとする。これらを図示すると以下のようになる。
図より、dVi, dVr, dVt は以下のように表される。
また、入射光、反射光、透過光のエネルギー密度はそれぞれ以下のように表される。
よって、(6)-①,②と(1)-⑥より、z=0平面上の微小領域dxdyを単位時間に通過する入射光、反射光、透過光のエネルギー量はそれぞれ以下のように表すことができる。
よって、p偏光のエネルギー透過率 Tp とエネルギー反射率 Rp はそれぞれ以下のようになる。
(6)-④より、以下の計算結果から、エネルギー保存則を満たしていることを確認できる。
垂直入射では、以下のようになる。
また、s偏光のエネルギー透過率 Ts とエネルギー反射率 Rs はそれぞれ以下のようになる。
(6)-⑦より、以下の計算結果からエネルギー保存則を満たしていることを確認できる。
垂直入射では以下のようになる。p偏光の垂直入射とs偏光の垂直入射は同じ状態なので、当然ながら(6)-⑥と(6)-⑨は同じ式となる。
n1=1, n2=2の場合について、(4)-⑨、(5)-⑨、(6)-④、(6)-⑦をグラフにすると以下のようになる。
n1>n2のときはθを大きくしていくと全反射が起こるので、これについては後に示す。
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ブリュースター角
前章で示した、エネルギー反射率の入射角度依存性のグラフから判るように、p偏光はある入射角度において反射がなくなる。この角度をブリュースター角θBと言い、これを導出していく。
(4)-⑨において、rp=0となるとき、
(4)-⑦-2（スネルの法則）より、
(7)-①,②より、
ここで、以下の角度条件を考慮する。
このとき得られる解は、以下である。
再度、(4)-⑦-2（スネルの法則）より、
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全反射とエバネッセント波
n1>n2のとき、入射光の角度を大きくしていくと、ある入射角度θで、透過光の出射角 ξ はπ/2となる。このときの入射角を臨界角と言い、(4)-⑦-2、(5)-⑦-2（スネルの法則）より、p偏光・s偏光の何れにおいても以下となる。
これよりも大きい入射角度においてはスネルの法則は実数解 ξ を持たない。このとき、入射光はすべて反射する。このことを全反射と呼ぶ。n1>n2のときのエネルギー透過率・反射率の入射角度依存性は以下のようになる。
また、全反射条件においても、ξを複素数に拡張すると、スネルの法則は解を持つことができる。即ち、全反射条件では、 sinξは1以上の実数値となるが、このときのξは複素数である。
全反射条件における複素数解は以下のように求めることができる。
p偏光においては、全反射条件における透過光の電界・磁界は、(4)-①,②,③を(3)-①へ代入して、(8)-②, (4)-④-2, (4)-⑤-2, (4)-⑥, (4)-⑦-2 を適用すると以下が得られる。
s偏光においては、全反射条件における透過光の電界・磁界は、(5)-①,②,③を(3)-①へ代入して、(8)-②, (5)-④-2, (5)-⑤-2, (5)-⑥, (5)-⑦-2を適用すると以下が得られる。
求めた結果はあくまで、数学的に得られた解であるが、p偏光・s偏光のどちらにも共通する以下のzに依存する成分の内、複号のマイナスについては、物理的に実際に存在するエバネッセント波を表す（複号のプラスは物理的には存在しない）。
これはzに対し指数関数的に振幅が減衰していくことを意味し、振幅が1/e倍に減衰するまでの界面(z=0)からの距離（染み出し深さ）は以下で表される（式変形で③-⑧を適用）。
エバネッセント波の染み出しが反射光の光量（エネルギー反射率）に及ぼす影響については、(8)-②を(6)-④,⑦へ代入するとRp=1, Rs=1となるので全反射で光量ロスがないことが判る。但し、Tpについては(6)-④,⑦の代入で値が零にならず、Tsについては分母が零になってしまって計算ができない。これは、TpとTsは式の導出過程でエバネッセント光を想定していないためである。
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ストークスの関係式
(4)-⑨と(5)-⑨で、媒質１から媒質２に入射するときのp偏光・s偏光の振幅反射率をそれぞれrp, rs、振幅透過率をぞれぞれtp, tsとした。ここから示すことはp偏光とs偏光のどちらについても成り立つので、p,sの下付き添え文字を省略し、振幅反射率をr、振幅透過率をtとして表す。
また、反対側の媒質２から媒質１に入射するときの振幅反射率をr’、振幅透過率をt’とする。
媒質１と媒質２のどちらも吸収がないとする。
このとき、まず、以下の図9-1の電界振幅の関係が成り立つ。
次に、図9-1の反射光を逆方向にして再び界面に入射させると、以下の図9-2の電界振幅の関係が成り立つ。
更に、図9-1の透過光を逆方向にして再び界面に入射させると、以下の図9-3の電界振幅の関係が成り立つ。
また、媒質での吸収がない場合は、光波の進行は可逆的であることから、図9-1の入射光・反射光・透過光の全ての進行を反対方向にした、以下の図9-4も成り立つ。
ここで、図9-2, 9-3 を合成した以下の図9-5は、図9-4と入射光が同じである。ということは、透過・反射光も同じになるはずである。
このことから、以下の等式が成り立つ。
即ち、
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消光係数と吸収係数
改めて、(2)-①を以下に示す。
光の進行方向と同じ方向にｚ軸を取ると、kx=ky=0となるので、k=kzとなり、以下のように表すことができる。
ここで、(1)-①より、
今、屈折率nを以下に示す複素屈折率で置き換える。
ここで、κを消光係数と呼ぶ。
このとき、
よって、電界の強度を I とすると、
ここで、吸収係数αを以下のように定義する。
このとき、
これは、電界の強度がzに対し指数関数的に減衰することを意味し、αは強度が1/e倍になるまでのz=0からの深さを表す。