スネルの法則から導かれる
平行平面板における関係式
光線の物質界面での屈折の法則（スネルの法則）から、様々な関係式を導くことができる。ここでは、実用的なものをいくつか紹介する。
-
平行平面板に垂直に入射した収束光の結像位置
実像が平行平面板の中にある場合と、平行平面を出た先にある場合の、２通りに分けて、虚像に対する実像の位置について求める。
(1) 実像が平行平面板中にある場合：
ここで、dhとdθ1とdθ2は微小量とする。また、右向きの矢印は正の値、左向きの矢印は負の値を意味する。
図に示されている条件を式で表すと、以下のようになる。
ここで、２番目の式はスネルの法則である。また、dθ1とdθ2は微小量であるから、以下のことが言える。
よって、元の式は以下のように置き換えられる。
これを解くと、以下が導出される。
(2) 実像が平行平面板を出た先にある場合：
ここで、dhとdθ1とdθ2は微小量とする。また、右向きの矢印は正の値、左向きの矢印は負の値を意味する。
図に示されている条件を式で表すと、以下のようになる。
ここで、２番目の式はスネルの法則である。また、dθ1とdθ2は微小量であるから、以下のことが言える。
よって、元の式は以下のように置き換えられる。
これを解くと、以下が導出される。
-
平行平面板を光軸に対し斜めに配置したときの結像位置
以下のように平行平面板に斜めに入射して、出射した先で結像する光束を考える。このときのΔxとΔyを求める。
ここで、dh、dθ1、dθ2は微小量とする。
図に示されている条件を式で表すと、
③の両辺を微分して、
①、②、③’、④、⑤より、s, xA, xB, dh, dθ1, dθ2を消去すると、
ここで、①、⑥より、
また、③より、
よって、求める解は以下のように表すことができる。
更に、③を適用してθ2を消去すると、
ここで具体例として、θ1=45[deg], n=1.5とすると、
となり、このとき概ね、Δxは t の1/2、Δyは t の1/3となる。
-
平行平面板で発生する球面収差量
以下の光学配置について考える。
dθ1とdθ2は微小量とし、縦方向球面収差 δs、横方向球面収差 δx について求めていく。
図に示されている条件を式で表すと、以下のようになる。
①と③はスネルの法則、⑤は開口数を表す。
①、②、⑤より、
③、④より、
②'、④'より、縦方向球面収差は以下のようになる。
⑥、⑦より、横方向球面収差は以下のようになる。
球面収差量を図示すると以下のようになる。図から判るように、同じ板厚に対しては比屈折率が1.6辺りで、球面収差量がピークになる。
ここで、収差の影響について考察する。
波動光学的な回折広がりによる点像分解能（エアリーディスク半径）は、以下の式で表される。
あくまで大まかな目安であるが、δxがδdよりも十分に小さいときには、δdが分解能において支配的となるため、δxの影響は小さいと言える。一方で、δxがδdよりも十分に大きいときは、δxが分解能において支配的となる。
δxとδdの比較のグラフを以下に示す。あくまで大まかな目安であるが、可視光で、カバーガラス（厚さ約0.15mm程度）においてはNA0.32以上、厚さ1.5ミリのガラスにおいてはNA0.18以上で、回折広がりの点像分解能よりも球面収差の影響が支配的になる。
