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スネルの法則から導く平行平面板の光線伝搬と収差量の理論解析

光線の物質界面での屈折の法則（スネルの法則）から、様々な関係式を導くことができる。ここでは、実用的なものをいくつか紹介する。

目次：

  • ​平行平面板に垂直に入射した収束光の結像位置

​実像が平行平面板の中にある場合と、平行平面を出た先にある場合の、２通りに分けて、虚像に対する実像の位置について求める。

平行平面板を通る光線の光線図を虚像と併せて示しています。

(1) 実像が平行平面板中にある場合：

平行平面板と結像位置の関係_042.png

​※寸法表記については、付録：１次元ベクトルと角度における方向と符号の定義　を参照

ここで、dhとdθ1とdθ2は微小量とする。

​図に示されている条件を式で表すと、以下のようになる。

平行平面板と結像位置の関係_043.png

​ここで、２番目の式はスネルの法則である。また、dθ1とdθ2は微小量であるから、以下のことが言える。

よって、元の式は以下のように置き換えられる。

平行平面板と結像位置の関係_044.png

これを解くと、以下が導出される。

平行平面板の内部に結像した光線とその虚像の位置の差

(2) 実像が平行平面板を出た先にある場合：

平行平面板と結像位置の関係_045.png

​※寸法表記については、付録：１次元ベクトルと角度における方向と符号の定義　を参照

ここで、dhとdθ1とdθ2は微小量とする。

​図に示されている条件を式で表すと、以下のようになる。

平行平面板と結像位置の関係_046.png

​ここで、２番目の式はスネルの法則である。また、dθ1とdθ2は微小量であるから、以下のことが言える。

よって、元の式は以下のように置き換えられる。

平行平面板と結像位置の関係_047.png

これを解くと、以下が導出される。

平行平面板を通った光線と虚像の結像位置の差

  • ​平行平面板を光軸に対し斜めに配置したときの結像位置と非点収差

以下のように平行平面板に斜めに入射して、出射した先で結像する光束を考える。このとき、タンジェンシャル方向とサジタル方向に分けて、それぞれの結像位置を、虚像位置に対する相対位置として求める（それらの差分が非点収差量である）。

・タンジェンシャル方向成分の結像位置の導出

​下図のような系を考える。ここで、タンジェンシャル方向成分の微小角度dθ1,2は、画面に対して平行方向にとる。

平行平面板斜め入射_022.png

​ここで、dhT、dθ1、dθ2は微小量とする。

​図に示されている条件を式で表すと、以下のようになる。

平行平面板斜め入射_023.png

ここで、(2)-1-④の立式について触れておく。dθ1とdθ2は微小量であることから、赤線と緑点線は平行であるとみなすと、以下のように、境界面に入射前の光線幅は、境界面を通った後の光線幅に対し、cosθ1/cosθ2倍になるので、このことを加味して(2)-1-④を立式した。

平行平面板斜め入射_024.png

​(2)-1-③の両辺を微分して、

平行平面板斜め入射_025.png

(2)-1-①,②,③’,④,⑤より、s, xA, xBT, x0, dhT, dθ1, dθ2を消去すると、

平行平面板斜め入射_026.png

ここで、(2)-1-①,⑥より、

平行平面板斜め入射_027.png

また、(2)-1-③より、

平行平面板斜め入射_029.png

よって、求める解は以下のように表すことができる。

平行平面板斜め入射_030.png

更に、(2)-1-③を適用してθ2を消去すると、

平行平面板斜め入射_031.png
平行平面板斜め入射_032.png

・サジタル方向成分の結像位置の導出

​下図のような系を考える。ここで、サジタル方向成分の微小角度dφ1,2は、画面に対して奥行方向に取る。

平行平面板斜め入射_033.png

​ここで、dhS、dφ1、dφ2は微小量とする。

​図に示されている条件を式で表すと、以下のようになる。

平行平面板斜め入射_034.png

(2)-2-①,②,④,⑤,⑦より、s, xA, xBS, x0, dhS, dφ1, dφ2を消去すると、

平行平面板斜め入射_035.png

ここで、(2)-2-①,⑥より、

平行平面板斜め入射_036.png

また、(2)-2-③より、

平行平面板斜め入射_037.png

よって、求める解は以下のように表すことができる。

平行平面板斜め入射_038.png

更に、(2)-2-③を適用してθ2を消去すると、

平行平面板斜め入射_039.png
平行平面板斜め入射_040.png

・非点収差量の導出

(2)-1-⑤''と(2)-2-⑤''より、非点収差量は以下の式で求められる。

平行平面板斜め入射_041.png

※本導出は独自のアプローチによるものであるが、同様の結果が標準的な文献[A]にも示されている。

  • ​平行平面板で発生する球面収差量

以下の光学配置について考える。

平行平面板で発生する球面収差について示しています。

dθ1とdθ2は微小量とし、縦方向球面収差 δs、横方向球面収差 δx について求めていく。

図に示されている条件を式で表すと、以下のようになる。

平行平面板と結像位置の関係_029.png

​①と③はスネルの法則、⑤は開口数を表す。

​①、②、⑤より、

平行平面板と結像位置の関係_030.png

​③、④より、

平行平面板と結像位置の関係_031.png

​②'、④'より、縦方向球面収差は以下のようになる。

平行平面板で発生する縦方向球面収差量

​⑥、⑦より、横方向球面収差は以下のようになる。

平行平面板で発生する横方向球面収差量

球面収差量を図示すると以下のようになる。図から判るように、同じ板厚に対しては比屈折率が1.6辺りで、球面収差量がピークになる。

平行平面板で発生する縦方向球面収差量の屈折率依存性
平行平面板で発生する横方向球面収差量の屈折率依存性

​ここで、収差の影響について考察する。

波動光学的な回折広がりによる点像分解能（エアリーディスク半径）は、以下の式で表される。

波動光学的な回折広がりによるスポットの��ボケ量

​あくまで大まかな目安であるが、δxがδdよりも十分に小さいときには、δdが分解能において支配的となるため、δxの影響は小さいと言える。一方で、δxがδdよりも十分に大きいときは、δxが分解能において支配的となる。

δxとδdの比較のグラフを以下に示す。あくまで大まかな目安であるが、波長532nmでは、カバーガラス（厚さ約0.15mm程度）においてはNA0.32以上、厚さ1.5ミリのガラスにおいてはNA0.18以上で、回折広がりの点像分解能よりも球面収差の影響が支配的になり、また、波長1064nmでは、カバーガラス（厚さ約0.15mm程度）においてはNA0.38以上、厚さ1.5ミリのガラスにおいてはNA0.22以上で、回折広がりの点像分解能よりも球面収差の影響が支配的になる。

NAを変数としたときの、横方向球面収差量と回折広がりによるスポットのボケ量の比較

そのため、実際の顕微鏡では、ガラス越しの観察によって球面収差が生じ、像が劣化することがある。特に開口数（NA）の大きい対物レンズではその影響が顕著になる。そこで、高NA対物レンズでは、カバーガラス越しの観察など特定の用途に合わせて、ガラスによって生じる球面収差を相殺するように設計された収差補正対物が用いられる[1]。

  • ​参考資料

[1] カバーガラスと補正環 | 基礎知識（上級編） | 株式会社ニコンソリューションズ

  • ​関連文献

[A] Warren J. Smith, Modern Optical Engineering, 4th Ed., McGraw-Hill Education (2008). Chapter 13.10 "The Plane Parallel Plate" / Section 13.5 "Astigmatism"

  • ​更新履歴

  • 2026-04  「平行平面板を光軸に対し斜めに配置したときの結像位置と非点収差」サジタル成分と非点収差量の導出を追加

  • 2025-10  「平行平面板を光軸に対し斜めに配置したときの結像位置と非点収差」タンジェンシャル成分の導出のプロセス・結果の間違いを修正

  • 2025-10  「平行平面板で発生する球面収差量」追加

  • 2025-08  　新規公開

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