二界面薄膜干渉の透過・反射強度式の電磁波方程式による導出 …（IT）
干渉強度は、電磁波の重ね合わせとして定量的に記述できる。本章では、電磁波の基本式（EM1）から出発し、複数の波が重ね合わさったときに観測される光強度の一般式を導出する。この一般式は、曲率をもつ界面で生じる干渉縞（ニュートンリングなど）から、二界面での多重反射が支配する薄膜干渉における透過・反射強度式まで、幅広い干渉現象を統一的に説明する基盤となる。見かけ上の明暗だけでは捉えきれない干渉の振る舞いを、電磁波方程式に基づいて理解することが本章の目的である。
さらに本ページでは、物理的原理に基づく厳密な理論と、それを基に再構築された薄膜設計理論における抽象化との違いを明確にし、両者を混同しがちな従来の解説では得られない視点を提示する。
目次：
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垂直入射近似における二界面薄膜干渉
・電磁波の式から導く垂直入射近似における二界面薄膜干渉
電磁波の式 (EM1) に基づき、垂直入射近似における二界面干渉の導出を行う。まず、系のモデルについて以下に示す。
但し、
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z軸に対し、-∞～0の領域を媒質１、0～dの領域を媒質２、d～+∞の領域を媒質3とする。
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各媒質での吸収はないものとする。
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入射光はz=-∞から+z方向に進行して媒質2へ入射する。
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入射光の電界ベクトルをEi、透過光の電界ベクトルをEt、反射光の電界ベクトルをErとする。
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透過光の電界ベクトルは、多重反射における各透過次数に対応する電界成分の総和として与えられ、それぞれの成分をEt,m（mは媒質2–3界面での反射回数）で表す。
また、反射光の電界ベクトルは、多重反射における各反射次数に対応する電界成分の総和として与えられ、それぞれの成分をEr,m（mは媒質2–3界面での反射回数）で表す。
式で表すと以下のようになる。
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媒質１,２の界面と媒質２,３の界面ではそれぞれ透過と反射が起こり、各面での振幅透過率と振幅反射率は以下で表す。
・媒質１から媒質２へ入射する際の、
振幅透過率：t12
振幅反射率：r12
・媒質２から媒質１へ入射する際の、
振幅透過率：t'12
振幅反射率：r'12
・媒質２から媒質３へ入射する際の、
振幅透過率：t23
振幅反射率：r23
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媒質１,２,３における光の波数をk1, k2, k3、角周波数をωと定義する。
入射光と反射光の電界ベクトルは以下のように表される。
但し、
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入射光の電界振幅ベクトルをEAi
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多重反射における各透過次数に対応する透過光成分の電界振幅ベクトルをEAt,m（mは媒質2–3界面での反射回数）
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多重反射における各反射次数に対応する反射光成分の電界振幅ベクトルをEAr,m（mは媒質2–3界面での反射回数）
とする。
ここで、電界の振幅ベクトルを以下のように振幅（スカラー量）と単位方向ベクトルeEAの積で表す。
(1)-③を(1)-②へ代入すると以下のようになる。
(1)-②’を(1)-①へ代入すると以下のようになる。
ここで、以下のように置く。
これを(1)-①'に代入すると、以下のようになる。
ここでは、電界が媒質1と媒質2の界面に入射する直前から、界面での多重反射を経て+z方向・-z方向へ出射する直後までに生じる振幅および位相の変化は、すべて各透過・反射次数に対応する透過・反射光成分の振幅ベクトルに含めて扱う。このとき、各振幅は次のように表される。
ここで、ストークスの関係式( (EM1)-(9)-② )より、以下のことが言える。
(1)-⑥を(1)-⑤へ代入すると、以下のようになる。
これを(1)-④へ代入して整理すると以下のようになる。
よって、系全体の振幅反射率 r と振幅透過率 t は以下のようになる。
(EM1)-(6)-④ より、エネルギー反射率・エネルギー透過率は以下のように求められる。
ここで、媒質1,2,3の屈折率をn1,n2,n3とすると、フレネルの法則( (EM1)-(4)-⑨'c, (EM1)-(5)-⑨'c )より、各界面の振幅反射率・振幅透過率は各媒質の屈折率を用いて以下のように表される。
エネルギー保存則が成り立つことは、以下のようにエネルギー反射率とエネルギー透過率の和を計算することで、確認することができる。
ここで、(1)-⑩より、
よって、(1)-⑨の分子と分母は等しくなり、
・二界面薄膜干渉における膜厚変化と強度変化の複素平面表示
ここからは反射光のみに着目し、干渉によって生じる光量分布について考察を行う。
反射光の光量をIrとすると、Irは反射光の電界ベクトルの絶対値の二乗に比例するので、以下のように求められる。
真空中での波長をλ0とすると、k2=2πn2/λ0より、
二界面干渉の極大・極小条件は、媒質の屈折率関係によって反転することがある。この反転は、反射のたびに生じる位相変化が振幅の向きにどう影響するかを理解しないと、式だけでは直感的に捉えにくい。
そこで、反射振幅を複素平面上のベクトルとして表し、その向きの変化を幾何学的に追うことで、干渉条件の反転を直観的に追っていく。
そこで、ここからは、(1)-④'の反射成分について、dを変数としたときの複素平面上の軌跡を求めていく。
まず、(1)-④'の反射成分の標準形を以下のように求める。
よって、複素平面上の円の軌跡の中心位置をh、曲率半径をRとすると、以下のようになる。
ここで、(1)-④'の反射成分と(1)-⑬より、以下の関係が得られる。
以上より、複素平面上の円軌跡は以下のように求められる。この円軌跡は、膜厚 𝑑 の変化に伴う反射振幅の位相回転を表しており、反射強度の極大・極小条件を幾何学的に理解できる。
(i)
のとき、
(ii)
のとき、
(iii)
のとき、
(iv)
のとき、
(v)
のとき、
(vi)
のとき、
(vii)
のとき、
(viii)
のとき、
(ix)
のとき、
(x)
のとき、
(xi)
のとき、
(xii)
のとき、
以上のことから、次のことが言える。
-
媒質２の屈折率が、媒質1,3よりも高い、もしくは、媒質1,3よりも低いとき、
・d=mλ0/2n2のとき、強度は極小 (特にn1=n3のとき強度はゼロ）
・d=(2m+1)λ0/4n2のとき、強度は極大
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媒質２の屈折率が、媒質1よりも高く媒質3よりも低い、もしくは、媒質3よりも高く媒質1よりも低いとき、
・d=mλ0/2n2のとき、強度は極大
・d=(2m+1)λ0/4n2のとき、強度は極小
この点を理解しておくと、例えばニュートンリング [1]の中央が明るくなる条件と暗くなる条件を判断できる。通常、ニュートンリングでは媒質2が空気であるため媒質1・3より屈折率が小さく、中央で接触している場合には中央は暗くなる。その様子を次で示す。
・事例：ニュートンリングにおける干渉強度分布
複素平面での振幅の理解が、実際の干渉縞とどのように結びつくかを示す例として、ニュートンリングを取り上げる。下図のように、媒質１が曲率半径Rの緩やかな湾曲を持ち、x=0で媒質３に接している場合を考える。
このとき、dはxの関数として、以下のように表される。
更に、干渉が起きる条件（媒質２は波長オーダーの厚さ）においては、x≪Rであることから、一般的には以下の近似式が適用される。
ここで、各パラメータの値を、
n1=1.5
n2=1
n3=1.5
λ0=0.00055mm
R=10000mm
とする。
このとき、(1)-⑩、(1)-⑪'、(1)-⑮より、xに対する光の強度分布は以下のグラフのように表され、また、複素平面の(ix)のケースに該当することから、極大・極小におけるdの値もグラフ中に以下のように併記することができる。
ここまでは簡単化のために垂直入射の場合を扱ってきたが、実際の光学現象では斜め入射で考える方がより一般的である。そこで、次節では斜め入射（s偏光・p偏光）のケースについて扱う。
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斜め入射における二界面薄膜干渉
ここでは、電磁波の式 (EM1) に基づき、斜め入射における二界面干渉の導出を行う。改めて、系のモデルについて以下に示す。
まず、各面の反射光を図示すると以下のようになる。
同様に、各面の透過光を図示すると以下のようになる。
但し、
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z軸に対し、-∞～0の領域を媒質１、0～dの領域を媒質２、d～+∞の領域を媒質3とする。
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位置ベクトルの原点を O とする。
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各媒質での吸収はないものとする。
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入射光はz=-∞から+z方向に進行して媒質2へ入射する。
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入射光の電界ベクトルをEi、透過光の電界ベクトルをEt、反射光の電界ベクトルをErとする。これらの電界は p 偏光または s 偏光のいずれか一方として扱う（任意の偏光は p 成分と s 成分に分解できるため、両者を独立に扱えばよい）。
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透過光の電界ベクトルは、多重反射における各透過次数に対応する電界成分の総和として与えられ、それぞれの成分をEt,m（mは媒質2–3界面での反射回数）で表す。
また、反射光の電界ベクトルは、多重反射における各反射次数に対応する電界成分の総和として与えられ、それぞれの成分をEr,m（mは媒質2–3界面での反射回数）で表す。
式で表すと以下のようになる。
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媒質１,２の界面と媒質２,３の界面ではそれぞれ透過と反射が起こり、各面での振幅透過率と振幅反射率は以下で表す。
・媒質１から媒質２へ入射する際の、
振幅透過率：t12
振幅反射率：r12
・媒質２から媒質１へ入射する際の、
振幅透過率：t'12
振幅反射率：r'12
・媒質２から媒質３へ入射する際の、
振幅透過率：t23
振幅反射率：r23
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媒質１,２,３における光の波数をk1, k2, k3、角周波数をωと定義する。
図中の l1,m と l2 は以下で表される。
入射光と反射光の電界ベクトルは以下のように表される。
但し、
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入射光の電界振幅ベクトルをEAi
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多重反射における各透過次数に対応する透過光成分の電界振幅ベクトルをEAt,m（mは媒質2–3界面での反射回数）
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多重反射における各反射次数に対応する反射光成分の電界振幅ベクトルをEAr,m（mは媒質2–3界面での反射回数）
とする。
ここで、電界の振幅ベクトルを以下のように振幅（スカラー量）と単位方向ベクトルeEAの積で表す。
(2)-④を(2)-③へ代入すると以下のようになる。
(2)-③’を(2)-①へ代入すると以下のようになる。
ここで、以下のように置く。
これを(2)-①'に代入すると、以下のようになる。
ここでは、電界が媒質1と媒質2の界面に入射する直前から、界面での多重反射を経て+z方向・-z方向へ出射する直後までに生じる振幅および位相の変化は、すべて各透過・反射次数に対応する透過・反射光成分の振幅ベクトルに含めて扱う。このとき、各振幅は次のように表される。
ここで、ストークスの関係式( (EM1)-(9)-② )、波数の性質( (EM1)-(1)-⑥ )、スネルの法則( (EM1)-(4)-⑦-2, (EM1)-(5)-⑦-2 )より、以下のことが言える。
また、(2)-⑥の各式の指数部を計算すると以下のようになる。
但し、(2)-7dより、cosξは、入射角θを用いて以下のように表される。
(2)-⑦,⑧を(2)-⑥へ代入すると、以下のようになる。
これを(2)-⑤へ代入して整理すると以下のようになる。
よって、系全体の振幅反射率 r と振幅透過率 t は以下のようになる[2]。
(EM1)-(6)-④ より、エネルギー反射率・エネルギー透過率は以下のように求められる。
ここで、媒質1,2,3の屈折率をn1,n2,n3とすると、フレネルの法則( (EM1)-(4)-⑨'c, (EM1)-(5)-⑨'c )より、各界面の振幅反射率・振幅透過率は各媒質の屈折率を用いて以下のように表される。
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各電界ベクトルがp偏光の場合：
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各電界ベクトルがs偏光の場合：
ここまで示してきた電磁波方程式に基づく導出は、多層膜解析や光学薄膜設計をはじめとする工学的応用へ発展させるうえでの確固たる基盤となる。本章で確立した理論枠組みにより、光学薄膜の振る舞いを体系的かつ定量的に理解するための土台が整った。これらの知見は、実際のデバイス設計や光学システム開発において、性能最適化や機能創出を行う際の重要な指針となる。
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薄膜干渉の物理から薄膜設計理論への展開
ここまで導いてきた薄膜干渉の物理的原理を踏まえ、これを基礎として構築される薄膜設計理論について述べる。
実際の物理では、斜めに進む波面の光路長差を直接計算するが、薄膜設計理論では、位相膜厚という仮想的な光学距離を導入することで、膜内を進む光線の幾何学的な距離差をそのまま位相差として扱えるようになる。この抽象化により、干渉の議論が大幅に簡潔化され、多層膜の解析を体系的に進めるための強力な枠組みが得られる。
系のモデルを以下に示す。
但し、
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z軸に対し、-∞～0の領域を媒質１、0～dの領域を媒質２、d～+∞の領域を媒質3とする。
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各媒質での吸収はないものとする。
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入射光はz=-∞から+z方向に進行して媒質2へ入射する。
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透過光の電界の複素振幅は、多重反射における各透過次数に対応する電界成分の総和として与えられ、それぞれの成分をEt,m（mは媒質2–3界面での反射回数）で表す。
また、反射光の電界の複素振幅は、多重反射における各反射次数に対応する電界成分の総和として与えられ、それぞれの成分をEr,m（mは媒質2–3界面での反射回数）で表す。
式で表すと以下のようになる。
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媒質１,２の界面と媒質２,３の界面ではそれぞれ透過と反射が起こり、各面での振幅透過率と振幅反射率は以下で表す。
・媒質１から媒質２へ入射する際の、
振幅透過率：t12
振幅反射率：r12
・媒質２から媒質１へ入射する際の、
振幅透過率：t'12
振幅反射率：r'12
・媒質２から媒質３へ入射する際の、
振幅透過率：t23
振幅反射率：r23
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媒質１,２,３における光の波数をk1, k2, k3、角周波数をωと定義する。
このように、ここでは電界については初めから複素振幅（スカラー量）として扱う。また、薄膜設計理論においては、以下に示す位相膜厚 δ を定義する。
但し、スネルの法則より、
βは、位相膜厚 δ に対応する位相量で、以下のように表される。
媒質 1–2 の境界面と媒質 2–3 の境界面の間の片道伝搬に対して導入される位相膜厚 δ は、多重反射の解析を簡潔にするための仮想的な光学距離として定義される。そのため、この δ は実際の光路長に基づく光学距離 n2 l2 = n2 d / cosξ とは一致しない。
一方、物理的導出（式 (2)-⑥'）では、光が境界面間を 1 往復するたびに電界の複素振幅の位相が 2β だけ変化する。しかし、この 2β は膜間の往復距離そのものに対応しているわけではなく、同一位相面を基準としたときに生じる光路長差が 2δ となることに起因する。
そこで解析を体系的に整理するために、膜間の片道伝搬で光学距離 δ だけ進むとみなす仮想的な表現を導入する。この仮想化により、往復に対応する位相変化 2β を、形式的に膜間の往復距離 2δ に対応する量として扱えるため、多重反射の記述が大幅に簡潔になる。
また、ストークスの関係式( (EM1)-(9)-② ) より、
以上を適用したとき、電界の複素振幅は以下のように表される。
これを(3)-①'へ代入すると、系全体の透過・反射の複素振幅が以下のように得られる。
よって、系全体の振幅反射率・振幅透過率は以下のように得られる。
t の分子に含まれる位相項は、物理的原理から導いた式 (2)-⑨ における位相とは一致しない。 これは、(3)-⑤ の Et,0 に含まれる位相 β に対応する位相膜厚 δ = n2 d cosξ が、 (2)-⑥' の Et,0 に現れる実際の光路長に基づく光学距離 n2 l2 = n2 d / cosξ とは異なることに起因する。 しかし、エネルギー透過率 T は 以下に示すように、分子の位相は寄与しないため、 この相違が薄膜設計上の結果に影響を及ぼすことはない。したがって、薄膜設計理論で用いられる抽象化は、実際の物理的原理と矛盾せず、理論的に整合していると言える。
本章で展開してきた薄膜設計理論の基礎は、光学薄膜の特性を定量的に把握し、実際のデバイス設計や光学システム開発へ応用するための堅固な基盤を与えるものである。ここで確立した理論的枠組みは、反射防止膜や干渉フィルタをはじめとする多様な光学素子の性能最適化に不可欠であり、光学エンジニアリングにおける設計・解析の指針として重要な役割を果たす。
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参考文献
[2]左貝潤一（著）『光学の基礎』コロナ社，1997年．
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関連文献
[A]井上光輝・中島信一『光学』共立出版
[B]田中拓男『光学入門』裳華房
[C]Max Born & Emil Wolf, Principles of Optics, Cambridge University Press
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更新履歴
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2026-06 「斜め入射における二界面薄膜干渉」新規追加
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2026-06 新規公開