球面ミラーへ斜め入射で
発生する非点収差

　以下に示すような、球面ミラーで斜めに反射する系を考える。このとき、（近軸領域において）サジタル方向（赤線）の焦点距離はr/(2cosθ)、タンジェンシャル方向（青線）の焦点距離は(r cosθ)/2となるため、大きな非点収差が発生する。

以下では、その理由について考察していく。

まず、以下に示すように、ミラーで斜めに反射する系においてタンジェンシャル成分のみを考える。

ここで、dθ、dψは微小量とする。

図に示されている条件を式で表すと、

正弦定理より、

よって、タンジェンシャル方向の焦点距離が(r cosθ)/2であることが示された。

　次に、以下に示すように、ミラーで斜めに反射する系においてサジタル成分のみを考える。

ここで、ベクトル i は入射光の方向ベクトル、ベクトル j は反射光の方向ベクトル、ベクトル n は反射面の法線ベクトルである。

各方向ベクトル・法線ベクトルは以下のように表される。

①と②を③へ代入して、

また、各点間のベクトルは以下のように表される。

ここで、kを正の実数として、

と表されるので、これに③’と⑥を代入してz成分を比較すると、

③’と⑧を⑦へ代入すると、

これと⑥を比較して

よって、⑤より、

ここで、𝜑≅0とすると、cos⁡𝜑≅1より、

よって、サジタル方向の焦点距離が r/(2cosθ) であることが示された。

タンジェンシャル成分の焦点距離の導出