光線の物質界面での
反射・屈折のベクトル表記

物質界面での光線の反射や、スネルの法則に基づく光線の屈折を、ベクトルで表記することは、光の伝搬を幾何学的に扱う際に、非常に有益となる。ここでは、その導出をしていく。

各方向ベクトルを以下のように定義する。

：入射光の方向ベクトル

これら全ての絶対値を１と定義する。

このとき、kを正の実数として、次のように表すことができる。

これを式変形して、

両辺を二乗して、

各方向ベクトル・法線ベクトルの絶対値は１であることから、

これを①'へ代入すると、最終的に以下の式が得られる。

以下の図に示すように、方向ベクトルを定義する。

：入射光の方向ベクトル

：透過光の方向ベクトル

：物質界面の法線ベクトル

：物質界面に平行且つ入射・透過光と同一平面内にある方向ベクトル

これら全ての絶対値を１とする。

このとき、各ベクトルの関係を以下のように記述できる。

①より、

これに②と③を代入して、

次に、⑤に①と③を代入して、

これに④を代入して、

これに①’と②を代入して、最終的に次式が得られる。